Ce este şi cum se determină cel mai mic multiplu comun

Cel mai mic multiplu comun este un instrument matematic pe care îl putem folosi pentru a aduce fracțiile la același numitor, în scopul adunării, scăderii sau comparării lor. Cel mai mic multiplu comun se poate calcula folosind factorii primi și un algoritm de complexitate medie.

Cel mai mic multiplu comun este adesea prescurtat în culegerile de matematică prin inițialele c.m.m.m.c și reprezintă cel mai mic număr natural care se divide cu numerele date. În cadrul exercițiilor, cel mai mic multiplu comun este prescurtat folosind drept simboluri două paranteze pătrate. Așadar, cel mai mic multiplu a două numere se poate nota cu:

– acronimul c.m.m.m.c. dintre a și b sau uneori cmmmc dintre a și b
‎ – sau [a, b]

Ce sunt numerele naturale

Citim adesea în diverse teorii matematice despre numere naturale. Trebuie să știm că, la fel cum cel mai mare divizor comun se aplică doar numerelor naturale, și cel mai mic multiplu comun se aplică de asemenea numerelor naturale.

Încă din primii ani de școală aflăm că numerele naturale sunt toate numerele strict pozitive și întregi precum 1, 2, 3, 4, 5…. până la infinit. Așa cum vedem, în matematică, numerele naturale sunt numerele folosite pentru numărarea și ordonarea obiectelor. 

Exercițiile pentru determinarea celui mai mic multiplu comun conțin numere naturale, și mai puțin numere cu virgulă, spre exemplu: 2,50 sau 3,75. Așadar, cel mai mic multiplu comun este, la rândul lui un număr natural și pozitiv, mai mare decât zero.

Ce este un multiplu comun

Înainte de a studia în detaliu ce este și cum se calculează cel mai mic multiplu comun, trebuie să aflăm ce este de fapt un multiplu. Menționăm că un număr este multiplu al altuia atunci când îl conține exact de n ori. Adică un număr b este un multiplu al a când b = a x s, fiind s un număr întreg.

De exemplu, 15 este multiplu de 3, deoarece 3 x 5 = 15

De asemenea, multiplii de 3 sunt:

3 x 1= 3

3 x 2 = 6

3 x 3 = 9

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 6 = 18 și așa mai departe…

Un multiplu comun este un număr care este un multiplu al mai multor numere date. Cu alte cuvinte, este un număr care poate fi împărțit exact la fiecare dintre numerele date. De exemplu, multiplii comuni ai numerelor 2 și 3 sunt: 6, 12, 18, 24 și așa mai departe. 

6 se împarte și la 2 și la 3. De asemenea, 12 sau 18 se pot împărți și la 2 și la 3, fără să dea numere cu virgulă. Rezultatele sunt numere naturale, după cum putem observa:

Exemple:

6 : 2 = 3; 6 : 3 = 2

12 : 2 = 6; 12 : 3 = 4

18 : 2 = 9; 18 : 3 = 6

Ce sunt multiplii unui număr

Un multiplu al unui număr este rezultatul înmulțirii acelui număr cu un număr întreg. De exemplu, multiplii lui 2 sunt: 0, 2, 4, 6, 8, 10 și așa mai departe. 

Conform exemplelor:

2 x 0 = 0

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

Ce sunt multiplii comuni

Un multiplu comun este un număr care apare în lista multiplilor fiecăruia dintre numerele date. 

De exemplu, 6 este un multiplu comun al lui 2 și 3, deoarece 6 poate fi împărțit exact la 2 și la 3 conform exemplelor:

6 : 2 = 3

6 : 3 = 2 

De asemenea, 8 este un multiplu comun al numerelor 2 și 4, deoarece el se împarte exact și la 2 și la 4, conform exemplelor:

8 : 2 = 4

8 : 4 = 2

Folosind aceeași rațiune, putem observa că 16 este un multiplu comun al numerelor 2, 4 și 8 deoarece 16 se poate împărți exact la cele trei numere, conform exemplelor:

16 : 2 = 8

16 : 4 = 4

16 : 8 = 2

Ce este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.):

Cel mai mic multiplu comun este cel mai mic număr pozitiv care este multiplu comun al tuturor numerelor date. De exemplu, cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 3 este 6, deoarece 6 este cel mai mic număr natural pozitiv care se poate împărți și la 2 și la 3, astfel încât rezultatul este un alt număr natural pozitiv, care nu este zero.

Exemplu:

Pentru a găsi multiplii comuni ai numerelor 4 și 6: 

• Multiplii lui 4 sunt: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
• Multiplii lui 6 sunt: 0, 6, 12, 18, 24, 30, …

Ne uităm cu atenție în șirul de multiplii și îi identificăm pe cei comuni celor două numere 4 și 6:

• Multiplii comuni ai lui 4 și 6 sunt: 0, 12, 24, …

După cum vedem, cel mai mai mic multiplu comun (c.m.m.c.) al lui 4 și 6 este 12, deoarece pentru stabilirarea celui mai mic multiplu comun, precum și pentru stabilirea celui mai mare divizor comun nu este luată în calcul valoarea zero. În șirul de mai sus, următorul cel mai mic multiplu comun este 12.

În concluzie, cel mai mic multiplu comun a două numere naturale nenule, adică diferite de zero, este cel mai mic număr natural, diferit de zero, care se divide cu cele două numere. El este folosit pentru a aduce fracţiile la acelaşi numitor, în scopul adunării, scăderii şi comparării.

Cum se poate determina cel mai mic multiplu comun

Cel mai mic multiplu comun (prescurtat c.m.m.m.c.) pentru două sau mai multe numere naturale nenule (adică mai mari decât zero) este cel mai mic număr natural care se divide cu toate numerele date. Calcularea celui mai mic multiplu comun se învață încă din ciclul gimnazial și face parte din lecțiile de matematică de complexitate medie, care ajută elevii să își dezvolte gândirea analitică și abstractă.

Pentru determinarea lui, putem folosi o metodă de identificare a multiplilor, care a fost expusă și în exemplele de mai sus sau metoda clasică a factorilor primi, metodă care dezvoltă abilitățile de împărțire și înmulțire.

Metoda de calculare a multiplilor

De exemplu, dacă avem numerele 51 și 27 și dorim să aflăm care este cel mai mic multiplu comun pentru aceste numere, adică cel mai mic număr care se împarte exact la cele două numere date, putem face o listă cu toți multiplii celor două numere până când identificăm primul multiplu comun care nu este zero. 

Multiplii lui 51 sunt: 51, 102, 153, 204, 255, 306, 357, 408, 459 etc.

Conform înmulțirii:

51 x 1 = 51

51 x 2 = 102

51 x 3 = 153

51 x 4 = 204

51 x 5 = 255

51 x 6 = 306 etc

Multiplii lui 27 sunt: 27, 54, 81, 108, 135, 162, 189, 216, 243, 270, 297, 324, 351, 378, 405, 439, 459 etc.

Conform înmulțirii:

27 x 1 = 27

27 x 2 = 54

27 x 3 = 81

27 x 4 = 108

27 x 5 = 135

27 x 6 = 162 etc

Notând rezultatele pe două coloane, după cum putem vedea, cel mai mic multiplu comun al numerelor 51 și 27 este 459.

Metoda factorilor primi

Pentru a determina cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere naturale le putem descompune mai întâi în fatorii primi.

Pentru a calcula c.m.m.m.c., se procedează astfel:

1. Descompunerea în factori primi: Numerele date se descompun în factori primi.
2. Identificarea factorilor: Se identifică toți factorii primi comuni și necomuni.
3. Exponentul maxim: Se ia fiecare factor prim cu cel mai mare exponent pe care îl are în descompunerile numerelor.
4. Înmulțirea: Se înmulțesc factorii primi, fiecare ridicat la exponentul maxim identificat.

I exemplu:

Pentru a calcula c.m.m.m.c. al numerelor 12 și 18 sau (12,18)

1. Descompunerea în factori primi:
   • 12 = 2² x 3
   • 18 = 2 x 3²
2. Identificarea factorilor:
   • Factori comuni: 2 și 3
   • Factori necomuni: niciunul
3. Exponenții:
   • Cel mai mare exponent pentru 2 este 2.
   • Cel mai mare exponent pentru 3 este 2.
4. Înmulțire:
   • c.m.m.m.c. (12, 18) = 2² * 3² = 4 * 9 = 36

Astfel, cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 18 este 36.

II exemplu:

Se cere cel mai mic multiplu comun pentru trei numere și anume 12, 8 şi 20.

1. Descompunerea în factori primi
   12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
   8 = 2 x 2 x 2 = 2³
   20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5

2. Identificarea factorilor

Factorii comuni sunt 2 și 3

Factorul necomun este 5

3. Exponenții

Cel mai mare exponent pentru 2 este 3

Cel mai mare exponent pentru 3 este 1

Cel mai mare exponent pentru 5 este 1

4. Înmulțirea

Vom avea de înmulțit 2³ x 3 x 5 = 120. Așadar, drept rezultat, cel mai mic multiplu comun pentru numerele 12, 8 și 20 este numărul 120.